行列式

概念：行列式是一个数，是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和

二阶行列式：
$\begin{vmatrix}a & b\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc$

三阶行列式：
$\begin{vmatrix}a{1} & a{2} & a{3}\ b{1} & b{2} & b{3}\c{1} & c{2} & c{3}\end{vmatrix}=a{1}b{2}c{3}+a{2}b{3}c{1}+a{3}b{1}c{2}-a{3}b{2}c{1}-a{2}b{1}c{3}-a{1}b{3}c_{2}$(对角线法则)

n阶乘行列式：
$\begin{vmatrix}a{11} & a{12} & … & a{1n}\ a{21} & a{22} & … & a{2n}\\vdots &\vdots & &\vdots &\a{n1} & a{n2} & … & a{nn}\end{vmatrix}=\sum{j{1}j{2}…j{n}}(-1)^{r(j{1}j{2}…j{n})}a{1j{1}}a{2j{2}}…a{nj{n}}$(完全展开式)

$r(j{1}j{2}…j{n})$ 为排列 $j{1}j{2}…j{n}$ 的逆序数

性质

  1. 经转置行列式的值不变. $\left | A^{T} \right |=\left | A \right |$

  2. 两行或两列互换的行列式变号.

  3. $\begin{vmatrix}a{11} & a{12} & … & a{1n}\ a{21} & a{22} & … & a{2n}\\vdots &\vdots & &\vdots &\a{n1} & a{n2} & … & a{nn}\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a{21} & a{22} & … & a{2n}\a{11} & a{12} & … & a{1n}\ \vdots &\vdots & &\vdots &\a{n1} & a{n2} & … & a{nn}\end{vmatrix}$

  4. 某行或某列有公因数k,可把k提取到行列式外.
    $\begin{vmatrix}ka{11} & ka{12} & … & ka{1n}\ a{21} & a{22} & … & a{2n}\\vdots &\vdots & &\vdots &\a{n1} & a{n2} & … & a{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a{11} & a{12} & … & a{1n}\ a{21} & a{22} & … & a{2n}\\vdots &\vdots & &\vdots &\a{n1} & a{n2} & … & a{nn}\end{vmatrix}$

  5. 某行或某列所有元素都为两个数之和，则可写成两个行列式之和.

    $\begin{vmatrix}a{1} & a{2}+a{4} & a{3}\ b{1} & b{2}+b{4} & b{3}\c{1} & c{2}+c{4} & c{3}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a{1} & a{2}& a{3}\ b{1} & b{2}& b{3}\c{1} & c{2}& c{3}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a{1} & a{4} & a{3}\ b{1} & b{4} & b{3}\c{1} & c{4} & c{3}\end{vmatrix}$

  6. 某行或某列的k倍加至某行或某列，行列式不变.

    $\begin{vmatrix}a{11} & a{12} & … & a{1n}\ a{21} & a{22} & … & a{2n}\\vdots &\vdots & &\vdots &\a{n1} & a{n2} & … & a{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a{11} & a{12} & … & a{1n}\ a{21}+ka{11} & a{22}+ka{12} & … & a{2n}+ka{1n}\\vdots &\vdots & &\vdots &\a{n1} & a{n2} & … & a_{nn}\end{vmatrix}$

特别地,某两行或两列相同或某行或某列元素全为0，则行列式为0；某两行或某两列成比例则行列式为0

  1. 若 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，则 $|kA|=k^n|A|$ ，$|A^*|=|A|^{n-1}$

  2. 若 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，则 $|AB|=|A||B|$

  3. 若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $|A^{-1}|=|A|^{-1}$

  4. 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ 相似，则 $|A|=|B|$

余子式和代数余子式

余子式：在 $n$ 阶行列式中，划去元素 $a{ij}$ 所在的第 $i$ 行与第 $j$ 列的所有元素剩下的元素(不改变原来的顺序)所构成的 $n-1$ 阶行列式称为 $a{ij}$ 的余子式,记为 $M_{ij}$

代数余子式： $a{ij}$ 的代数余子式 $A{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

行列式
$\begin{vmatrix}a{11} & a{12} & a{13}\ a{21} & a{22} & a{23}\a{31} & a{32} & a{33}\end{vmatrix}，a{22}的余子式M{22} = \begin{vmatrix}a{11} & a{13}\ a{31} & a{33}\end{vmatrix}，a{22}的代数余子式A{22}=(-1)^{(2+2)}\begin{vmatrix}a{11} & a{13}\ a{31} & a_{33}\end{vmatrix}$

行列式等于它任意一行(列)的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和

$|A| = a{i1}A{i1}+a{i2}A{i2}+…+a{in}A{in}(按i行展开)\|A| = a{1j}A{1j}+a{2j}A{2j}+…+a{nj}A{nj}(按j行展开)$

行列式的计算

  1. 三角化

    $\begin{vmatrix}a{11} & a{12} & … & a{1n}\ 0 & a{22} & … & a{2n}\\vdots &\vdots & &\vdots &\0 & 0 & … & a{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a{11} & 0 & … & 0\ a{21} & a{22} & … & 0\\vdots &\vdots & &\vdots &\a{n1} & a{n2} & … & a{nn}\end{vmatrix}=a{11}a{22}…a_{nn}$

    $\begin{vmatrix}a{11} & a{12} & … & a{1n}\ a{21} & … & a{2n-1} & 0\\vdots & &\vdots &\a{n1} & 0 & … & 0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0 & … & 0 & a{1n}\ 0 & … & a{2n-1} & a{2n}\\vdots & &\vdots &\vdots\a{n1} & a{n2} & … & a{nn}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a{1n}a{2n-1}…a_{n1}$

  2. 公式法(代数余子式) 、递推法 、利用行列式性质、利用矩阵性质

  3. 利用特征值. $|A| = \prod \lambda_{i}$

  4. 拉普拉斯展开式
    $\begin{vmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{} \ \mathbf{O} & \mathbf{B}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{O} \ \mathbf{} & \mathbf{B}\end{vmatrix}=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|，\begin{vmatrix}\mathbf{O} & \mathbf{A} \ \mathbf{B} & \mathbf{}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\mathbf{} & \mathbf{A} \ \mathbf{B} & \mathbf{O}\end{vmatrix}=(-1)^{nm}|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$

$m、n$ 分别是矩阵 $\mathbf{A}、\mathbf{B}$ 的阶数

  1. 范德蒙德行列式

    $\begin{vmatrix}1 & 1 & … & 1 \ x_1 &x_2 &… &x_n \ x_1^2 &x_2^2 &… &x_n^2 \ \vdots &\vdots&&\vdots \ x_1^{n-1} &x_2^{n-1} &… &x_n^{n-1} \ \end{vmatrix}=\prod{1\leqslant j\leqslant i\leqslant n}(x_i-x_j)$

    $=(xn-x{n-1})…(xn-x_1)\cdot (x{n-1}-x{n-2})…(x{n-1}-x_1)…(x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1)$

证明|A| = 0

Ax = 0 有非零解 、反证法、r(A) < n、0是A的特征值、|A| = -|A|

行列式的应用

  1. 向量组的相关性

    设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $n$ 个 $n$ 维向量， $A=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$,则 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关的充分必要条件是 $|A|\neq0$

  2. 矩阵的满秩与可逆

    $A$ 满秩的充分必要条件是 $|A|\neq0$

    $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A|\neq0$

  3. 方程组的解

    $AX=0$ 只有零解的充分必要条件是 $|A|\neq0$

    $AX=b$ 有唯一解的充分必要条件是 $|A|\neq0$

$n$ 阶行列式的计算

升阶法、递推法、化为上下三角形法、拆项

矩阵

概念： $m$ x $n$ 个数排成的 $m$ 行 $n$ 列的集合

$\begin{bmatrix}a{11} & a{12} & … & a{1n}\ a{21} & a{22} & … & a{2n}\\vdots &\vdots & &\vdots &\a{m1} & a{m2} & … & a_{mn}\end{bmatrix}$ 称为 $m$ x $n$ 矩阵，当 $m=n$ ,矩阵称为$n$ 阶矩阵或 $n$ 阶方阵

行列式是方阵，仅方阵才有行列式

矩阵运算

  1. $A+B=[a{ij}+b{ij}]$ 对应元素相加

  2. $kA=[ka_{ij}]$ 所有元素都乘以 $k$

  3. $m$ x $n$ 矩阵 $A$ ， $n$ x $s$ 矩阵 $B$ ， $AB=C(m,s),c{ij}=\sum{k=1}^{n}a{ik}b{kj}$

    $\begin{bmatrix}& & \ (i)\cdots&\cdots&\cdots \ & & \end{bmatrix}\begin{bmatrix}& (j) & \ & \vdots & \ & \vdots & \ & \vdots &\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}& & \ & c_{ij} & \ & &\end{bmatrix}$

例: $\begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \ 0 & 2 \3 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\cdot1+1\cdot0+1\cdot3 & 2\cdot0+1\cdot2+1\cdot1\ 1\cdot1+2\cdot0+1\cdot3 & 1\cdot0+2\cdot2+1\cdot1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 & 3\ 4 & 5\end{bmatrix}$

乘法条件:A的列数=B的行数

矩阵乘法法则:

$A(BC)=(AB)C;\A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC;\ (kA)(lB)=klAB;\ AE=A,EA=A \ (A+E)^2=A^2+2A+E$

$(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2\neq A^2+2AB+B^2$

注意: $AB\neq BA$

矩阵转置

矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到的新矩阵为矩阵 $A$ 的转置矩阵，记为 $A^T$

$A=\begin{bmatrix}1& 2 & 3 \ 4& 5& 6\end{bmatrix},A^T=\begin{bmatrix}1 & 4 \ 2 & 5 \3 & 6 \end{bmatrix}$ (横取竖放)

伴随矩阵

$A$ 是$n$ 阶矩阵，行列式 $|A|$ 的每个元素 $a{ij}$ 的代数余子式 $A{ij}$ 所构成的矩阵为 $A$ 的伴随矩阵,记为 $A^*$

$A=\begin{bmatrix}a{11}& a{12} \ a{21}& a{22} \end{bmatrix}，A^*=\begin{bmatrix}A{11}& A{21} \ A{12}& A{22} \end{bmatrix}$ (横取竖放)

二阶矩阵的伴随矩阵:主对角线元素互换,副对角线元素变号

逆矩阵

$A$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得 $AB=BA=E$ ,则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵， $B$ 是 $A$ 的逆矩阵,记为 $A^{-1}=B$ , 且 $A$ 的逆矩阵唯一

$A$ 可逆 $\Leftrightarrow |A|\neq 0$

​ $\Leftrightarrow r(A)=n$

​ $\Leftrightarrow$ A的列(行)向量组线性无关

​ $\Leftrightarrow A=P_1P_2\cdots P_s,P_i$ 是初等矩阵

​ $\Leftrightarrow A$ 与单位矩阵等价

​ $\Leftrightarrow 0$ 不是A的特征值

矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 等价的充分必要条件是存在可逆矩阵 $P$ 与 $Q$ ，使得 $PAQ=B$

  • $A^{-1}=P_t\cdots P_2P_1$

    $P_t\cdots P_2P_1A=E$

    $P_t\cdots P_2P_1E=A^{-1} \rightarrow (A|E)\rightarrow \cdots\rightarrow(E|A^{-1})$

  • $P_t\cdots P_2P_1A=B$

    $P_t\cdots P_2P_1E=P$ ($P=P_t\cdots P_2P_1$)

    $(A|E)\rightarrow \cdots\rightarrow(B|P)$

正交矩阵

$n$ 阶矩阵 $A$ ，若满足 $AA^T=A^TA=E$ ，则 $A$ 为正交矩阵

行阶梯矩阵、行最简矩阵

矩阵的初等变换

$E_{i,j}A$ ：对调 $A$ 的 $i,j $行

$AE_{i,j}$ ：对调 $A$ 的 $i,j$ 列

公式

转置

$(A^T)^T=A ;(A+B)^T=A^T+B^T \ (kA)^T=kA^T \ (AB)^T=B^TA^T$

可逆

$(A^{-1})^{-1}=A;(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1} (k\neq 0) \ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1};(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n$

$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1};|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$

伴随

$AA^=A^A=|A|E$

$A^=|A|A^{-1};|A^|=|A|^{n-1}$

$(A^)^{-1}=(A^{-1})^ =\frac{1}{|A|}A\(A^)^T=(A^T)^;(kA)^ = k^{n-1}A^ ;(A^)^=|A|^{n-2}A$

$(AB)^ = B^A^*$

秩

$r(A)=r(A^T)=r(A^TA)\r(kA)=r(A),k\neq 0 \r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)\r(AB)\leqslant min(r(A),r(B))$

若 $A$ 可逆，则 $r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)$

若 $A$ 为 $m$ x $n$ 矩阵， $B$ 为 $n$ x $s$ 矩阵， $AB=O$ , 则 $r(A)+r(B)\leqslant n$

$r\binom{A}{B}=r(A)+r(B)$

$r\begin{pmatrix}A & O\ O & B\end{pmatrix}=r(A)+r(B)$

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $r(A)=1$ 的充分必要条件是存在非零 $n$ 维向量 $\alpha,\beta$ ,使得 $A=\alpha\beta^{T}$

$\alpha^T\beta=tr(A)$ (主对角线元素相加)

$A=\alpha\beta^{T}$ ，则 $A^n=k^{n-1}A$ ,其中 $k=\alpha^T\beta=\beta^{T}\alpha$

(满秩=矩阵列向量的个数)

  1. 分块矩阵

    $\begin{bmatrix}A_1 & A_2\ A_3 & A_4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1 & B_2\ B_3 & B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1+B_1 & A_2+B_2 \ A_3+B_3 & A_4+B_4 \end{bmatrix}$

    $\begin{bmatrix}A & B\ C & D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X & Y\ Z & W\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AX+BZ & AY+BW \ CX+DZ & CY+DW\end{bmatrix}$

    $\begin{bmatrix}A & B\ C & D\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}A^T & C^T\ B^T & D^T\end{bmatrix}$

    若 $B,C$ 分别是 $m$ 阶与 $s$ 阶矩阵，则 $\begin{bmatrix}B & O\ O & C\end{bmatrix}^n =\begin{bmatrix}B^n & O\ O & C^n\end{bmatrix}$

    若 $B,C$ 分别是 $m$ 阶与 $s$ 阶可逆矩阵，则 $\begin{bmatrix}B & O\ O & C\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}B^{-1} & O\ O & C^{-1}\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}O & B\ C & O\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}O & C^{-1}\ B^{-1} & O\end{bmatrix}$

  2. 对角矩阵

    $\begin{bmatrix}a_1 & & \ & a_2& \ & & a_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1 & & \ & b_2& \ & & b_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1b_1 & & \ & a_2b_2& \ & & a_3b_3\end{bmatrix}$

    $\begin{bmatrix}a_1 & & \ & a_2& \ & & a_3\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}a_1^n & & \ & a_2^n& \ & & a_3^n\end{bmatrix}$

    $\begin{bmatrix}a_1 & & \ & a_2& \ & & a_3\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{a_1} & & \ & \frac{1}{a_2} & \ & & \frac{1}{a_3} \end{bmatrix}$

$n$ 维向量

定义1

设 $n$ 维列向量 $\alpha =[a_1,a_2,\cdots,a_n]^T,\beta =[b_1.b_2,\cdots,b_n]^T$ ,则

$\alpha+\beta=[a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n];\ k\alpha=[ka_1,ka_2,\cdots,ka_n]$

$(\alpha,\beta)=\alpha^T\beta=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$

$\begin{Vmatrix}\alpha\end{Vmatrix}=\sqrt{\alpha^T\alpha}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}$

定义2

设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 是 $n$ 维向量， $k_1,k_2,\cdots,k_s$ 是一组实数，称 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的线性组合，若 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\beta$ ,则称 $\beta$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的线性组合

定义3

设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 是 $n$ 维向量，如果存在不全为零的数使得 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$ ，则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性相关，当且仅当 $k_1=k_2=\cdots=k_s=0$ 时，称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关

定理1

$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\beta$

$\Leftrightarrow$ 非齐次线性方程组 $[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s]\begin{bmatrix}x_1\ x_2\ \vdots \ x_s\end{bmatrix}=\beta$ 有解

$\Leftrightarrow$ 秩 $r[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s]=r[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta]$

定理2

$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性相关

$\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s]\begin{bmatrix}x_1\ x_2\ \vdots \ x_s\end{bmatrix}=0$ 有非零解

$\Leftrightarrow$ 秩 $r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$ < $s$

推论

1.$n$ 个 $n$ 维向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性相关的充分必要条件是行列式 $|\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|=0$

2.向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性相关的充分必要条件是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 中至少有一个向量可由其余向量线性表示

3.含零向量的向量组一定线性相关

4.若一个向量组线性无关，则该向量组的任何部分向量组都线性无关

5.若向量组有部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关

6.$n$ 个 $n$ 维向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性无关的充分必要条件是行列式 $|\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|\neq 0$

7.两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例

8.若 $A$ 的任意两行两列成比例，则 $A=\alpha\beta^T$

线性方程组

定理

齐次线性方程组 $AX=0$ (零解和非零解)

  • 只有零解的充分必要条件是 $r(A)=n$ (A为普通矩阵), $|A|\neq0$(A为方阵)
  • 有非零解的充分必要条件是 $r(A) < n$ (A为普通矩阵), $|A|= 0$(A为方阵)

非齐次线性线性方程组 $AX=b$ (无解和有解)，增广矩阵 $\overline{A}=(A\vdots b)$

  • 有解的充分必要条件是 $r(A)=r(\overline{A})$

    若 $r(A)=r(\overline{A})=n$ 方程组有唯一解, $|A|\neq0$ (A为方阵时 )

    若 $r(A)=r(\overline{A}) < n$ 方程组有无数个解， $|A|= 0$ (A为方阵时)

  • 无解的充分必要条件是 $r(A)\neq r(\overline{A})$

线性方程组解的结构

  1. 设 $X_1,X_2,\cdots,X_s$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的一组解，则 $k_1X_1+k_2X_2+\cdots+k_sX_s$ 也为 $AX = 0$ 的解
  2. 设 $\eta_0$ 为非齐次线性方程组 $AX=b$ 的一个解， $X_1,X_2,\cdots,X_s$ 为齐次线性方程组 $AX=0$ 的一组解，则 $k_1X_1+k_2X_2+\cdots+k_sX_s+\eta_0$ 为 $AX=b$ 的一个解
  3. 设 $\eta_1，\eta_2$ 为非齐次线性方程组 $AX=b$ 的两个解，则 $\eta_2-\eta_1$ 为 $AX = 0$ 的一个解
  4. 设 $X_1,X_2,\cdots,X_s$ 为非齐次线性方程组$AX=b$ 的一组解，则 $k_1X_1+k_2X_2+\cdots+k_sX_s$ 也为 $AX = b$ 的解的充分必要条件是 $k_1+k_2+\cdots+k_s=1$
  5. 设 $X_1,X_2,\cdots,X_s$ 为非齐次线性方程组 $AX=b$ 的一组解，则 $k_1X_1+k_2X_2+\cdots+k_sX_s$ 为 $AX = 0$ 的解的充分必要条件是 $k_1+k_2+\cdots+k_s=0$

解方程组

化为行阶梯型或行最简

公共解

$AX=b$ ， $BX=d$ 两个方程组的解的交集为其公共解

解法:

  • $\begin{pmatrix}A\ B\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}b\ d\end{pmatrix}$ 该方程组的解即为公共解
  • 先求出(1)的解再代入(2)，解即为公共解
  • 分别求出(1)(2)的通解，令两个方程组的通解相等，从而求出公共解

同解

$AX=O$ ， $BX=O$ , (1)的解也是(2)的解

(1)、(2)同解的必要条件是 $r(A)=r(B)$

特征值与特征向量

定义

1.设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在一个数 $\lambda$ 及非零 $n$ 维列向量 $\alpha$ , 使得 $A\alpha=\lambda\alpha$ 成立，则称 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值， $\alpha$ 是矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量. $A$ 有 $n$ 个特征值(包括重数)

$|\lambda E-A|=0$ 为 $A$ 的特征方程，通过此方程可求出 $A$ 特征值，

$(\lambda_iE-A)X=0$ 的基础解系为 $\lambda_i$ 对应的线性无关的特征向量

任何特征值都对应无数个特征向量，但其线性无关的特征向量不超过其重数

2.设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $P$ ,使得 $P^{-1}AP=B$ ，则称矩阵 $A,B$ 相似,记作 $A\sim B$

$P^{-1}A^nP=B^n,A^n=PB^nP^{-1}$

3.已知 $B=P^{-1}AP$ ， $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ ，其对应的特征特征向量为 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$,

则 $BP^{-1}=P^{-1}A \rightarrow BP^{-1}\alpha_i=P^{-1}A\alpha_i \rightarrow BP^{-1}\alpha_i=\lambda_iP^{-1}\alpha_i$

即 $B$ 的特征向量为 $\beta_i=P^{-1}\alpha_i$

矩阵相似的性质

  1. $A\sim A$

  2. 若 $A\sim B$ , 则 $B\sim A$

  3. 若 $A\sim B$ ， 则 $A^T\sim B^T$

    且 $A，B$ 可逆，则 $A^{-1}\sim B^{-1}$ ， $A^\sim B^$

  4. 若 $A\sim B$ ， $B\sim C$ , 则 $A\sim C$

  5. 若 $A\sim B$ ， $r(A)=r(B)$ , $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$

  6. 若 $A\sim B$ ，则 $|A|=|B|,tr(A)=tr(B)$

特征值与特征向量的性质​

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵， $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 为其特征值

  1. $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=tr(A)$
  2. $\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|$

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A\alpha=\lambda_0\alpha$ , $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ ,令 $f(A)=a_nA^n+\cdots+a_1A+a_0E$ ,则

  1. 若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}\alpha=\frac{1}{\lambda_0}\alpha$ ,即 $\frac{1}{\lambda_0}$ 为 $A^{-1}$ 的特征值， $\alpha$ 为 $A^{-1}$ 的特征向量
  2. 若 $A$ 可逆，则 $A^\alpha=\frac{|A|}{\lambda_0}\alpha$ ,即 $\frac{|A|}{\lambda_0}$ 为 $A^$ 的特征值， $\alpha$ 为 $A^*$ 的特征向量
  3. $f(A)\alpha=f(\lambda_0)\alpha$ ,即 $f(\lambda_0)$ 为 $f(A)$ 的特征值， $\alpha$ 为 $f(A)$ 的特征向量

$A$ 可逆时， $A^{-1},A^*,A$ 的特征向量相同

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵, $A$ 的不同特征值对应的特征向量线性无关

施密特正交化

把一组线性无关的向量组化为一组两两正交且规范化的向量组的过程称为施密特正交化

设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性无关，

  1. 正交化

    令 $\beta_1=\alpha_1,\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1,\cdots$

    $\betan=\alpha_n-\frac{(\alpha_n,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_n,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2-\cdots-\frac{(\alpha_n,\beta{n-1})}{(\beta{n-1},\beta{n-1})}\beta_{n-1}$

    则 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$ 两两正交

  2. 规范化

    令 $\gamma_1=\frac{1}{|\beta_1|}\beta_1, \gamma_2=\frac{1}{|\beta_2|}\beta_2,\cdots,\gamma_n=\frac{1}{|\beta_n|}\beta_n$

    则 $\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n$ 为两两正交且规范化的向量组

正交矩阵

设 $Q$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $Q^TQ=E$ 或 $QQ^T=E$ ,称 $Q$ 为正交矩阵

设 $Q=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n)$ 为 $n$ 阶矩阵,则 $Q$ 为正交矩阵的充分必要条件是 $\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n$ 为两两正交且规范化的向量组

若 $Q$ 为正交矩阵，则 $Q^{-1}=Q^T$ , $|Q|=\pm1$ , 特征值为-1或1；且 $Y=QX$ ，则 $|Y|=|X|$
实对称矩阵 $A^T=A$

  1. 实对称矩阵的特征值都是实数
  2. 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交
  3. 实对称矩阵一定可以相似对角化，特别地若 $A^T=A$ ,则存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^TAQ=\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\ 0 & 0 & 0 & \lambda_n\end{bmatrix}$ ,$\lambda_1,\lambda_2,\cdots\lambda_n$ 为实对称矩阵$A$的特征值

矩阵可相似对角化

  • 矩阵 $A$ 的特征值都是单值
  • 矩阵 $A$ 为实对称矩阵
  • 矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
  • 矩阵 $A$ 特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数相等，即 $n-r(\lambda_i E-A)$ =重数, $\lambda_i$ 为重根特征值

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 可相似对角化(与对角矩阵相似)的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量

  1. 由 $|\lambda E-A|=0$ 求出 $A$ 的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$

  2. 由 $(\lambda_i E-A)X=0$ 求出 $A$ 的特征向量 $\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_m$

  3. 若 $m<n$ 时，矩阵 $A$ 不可对角化；若 $m=n$ 时，矩阵 $A$ 可相似对角化

    由 $A\delta_i=\lambda_i\delta_i$ 得

    $(A\delta_1,A\delta_2,\cdots,A\delta_n)=(\lambda_1\delta_1,\lambda_2\delta_2 ,\cdots,\lambda_n\delta_n )$ 即

    $A(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n)=(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n)\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\ 0 & 0 & 0 & \lambda_n\end{bmatrix}$

    令 $P=(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n)$ ,则 $P$ 可逆，且 $P^{-1}AP=\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\ 0 & 0 & 0 & \lambda_n\end{bmatrix}$

实对称矩阵的对角化

  1. 若求可逆矩阵 $P$ ，则按上述步骤即可
  2. 若求正交矩阵 $Q$ ,将 $\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n$ 施密特正交化和规范化，令 $Q=(\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_n)$ ,则 $Q^TAQ=\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\ 0 & 0 & 0 & \lambda_n\end{bmatrix}$

矩阵相似的判断

$A,B$ 相似的必要条件是 $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ ,即 $A,B$ 具有相同的特征值

若 $A,B$ 特征值相同，判断 $A,B$ 相似一般分如下情形：

  1. 若 $A,B$ 都可相似对角化，则 $A \sim B$
  2. 若 $A,B$ 一个可相似对角化，一个不可相似对角化，则 $A,B$ 一定不相似
  3. 若 $A,B$ 都不可相似对角化，一般不讨论

二次型

定义1

含有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的二次齐次函数

$f(x1,x_2,\cdots,x_n)=a{11}x1^2+a{22}x2^2+\cdots+a{nn}xn^2+2a{12}x1x_2+2a{13}x1x_3+\cdots+2a{1n}x1x_n+2a{23}x2x_3+\cdots+2a{2n}x2x_n+\cdots+2a{n-1,n}x_{n-1}x_n$

称为 $n$ 元二次型.若规定 $a{ij}=a{ji}$ ，则二次型有矩阵表示 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx$,

其中 $x=[x1,x_2,\cdots,x_n]^T,A=[a{ij}]$ 且 $A^T=A$ ,称 $A$ 为二次型的矩阵

例如： $f(x_1,x_2)=x_1^2+5x_2^2+6x_1x_2$ ，有

​ $f(x_1,x_2)=x_1^2+3x_1x_2+3x_1x_2+5x_2^2$

​ $=x_1(x_1+3_x2)+x_2(3x_1+5x_2)$

​ $=[x_1,x_2] \begin{bmatrix}x_1 & 3x_2\ 3x_1 & 5x_2 \end{bmatrix}$

​ $=[x_1,x_2] \begin{bmatrix}1 & 3\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\ x_2\end{bmatrix}=x^TAx$

若对任何 $x\neq0$ ,恒有 $x^TAx>0$ ，则称二次型为正定二次型

  • 若二次型中只含有变量的平方项，即 $x^TAx=d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$ 称为二次型的标准形

  • 若标准形中，平方项的系数 $dj$ 为1，-1或0，即 $x^TAx=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_p^2-x{p+1}x^2+\cdots-x_{p+q}^2$ 称为二次型的规范形

  • 标准形中，正平方项的个数 $p$ 称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数 $q$ 称为二次型的负惯性指数，系数不为0的个数为二次型的秩

定义2

若
$\begin{matrix}x1=c{11}y1+c{12}y2+c{13}y3\ x_2=c{21}y1+c{22}y2+c{23}y3\ x_3=c{31}y1+c{32}y2+c{33}y_3\end{matrix}$

满足 $|C|=\begin{bmatrix}c{11} & c{12} & c{13}\c{21} & c{22} & c{23}\ c{31} & c{32} & c{33}\end{bmatrix} \neq0$
称 $x=[x_1,x_2,x_3]^T$ 到 $y=[y_1,y_2,y_3]$ 的坐标变换，即
$\begin{bmatrix}x_1\ x_2\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c{11} & c{12} & c{13}\ c{21} & c{22} & c{23}\ c{31} & c{32} & c{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\ y_2\ y_3\end{bmatrix} 或x=Cy$

两个 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ ，如果存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^TAC=B$ 则称矩阵 $A$ 和 $B$ 合同，并称 $A$ 到 $B$ 的变换为合同变换， $C$ 为合同变换矩阵

定理1

变量 $x=[x_1,x_2,\dots,x_n]^T$ 的 $n$ 元二次型 $x^TAx$ 经坐标变换 $x=Cy$ 后，化为变量 $y=[y_1,y_2,\cdots,y_n]$ 的 $n$ 元二次型 $y^TBy$.

$x^TAx=(Cy)^TA(Cy)=y^TC^TACy=y^TBy$, 其中 $B=C^TAC$

定理2

任意的 $n$ 元二次型 $x^TAx$ 都可以通过坐标变换化成标准形

对任一个 $n$ 元二次型 $x^TAx$ ，其中 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，必存在正交变换 $x=Qy$ ( $Q$ 是正交矩阵)，使得 $x^TAx$ 化为标准形 $\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$

定理3

任一 $n$ 阶是对称矩阵 $A$ ，总可以合同于一个对角矩阵，即 $C^TAC=\begin{bmatrix}d_1 & 0 & \cdots & 0\ 0 & d_2 & \cdots & 0\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\ 0 & 0 & 0 & d_n\end{bmatrix}$

定理4​

$n$ 元二次型 $x^TAx$ 正定的充分必要条件:

  1. $A$ 的正惯性指数是 $n$
  2. $A$ 与 $E$ 合同，且存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^TAC=E$
  3. $A$ 的所有特征值均为正数
  4. $A$ 的各阶顺序主子式均大于零

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